Suku Banyak / Polinomial

Kembali bersama rumus matematika, jangan bosan-bosan ya… semakin sering kita membaca ilmu maka akan semakin bertambah ilmu kita. Materi kali ini mengenai polinomial atau sering disebut dengan suku banyak. Mengenai apa itu suku banyak dan bagaiman bentuknya, mari kita simak pada penjelasan dibawah ini.

Bentuk Umum

a_n xⁿ + a_{n – 1} x^{n – 1} + a_{n – 2} x^{n – 2} + … + … a₂x² + a₁x + a₀

keterangan :

n = derajat suku banyak

a₀ = konstanta

a_n, a_{n – 1}, a_{n – 2}, … = koefisien dari xⁿ, x^{n – 1}, x^{n – 2}, …

Pangkat merupakan bilangan cacah.

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

dimana :

F(x) = suku banyak

P(x) = pembagi

H(x) = hasil bagi

S(x) = sisa

Teorema Sisa

Jika suatu suku banyak F(x) dibagi oleh (x – k) maka sisanya adalah F(k)

Jika pembagi berderajat n maka sisanya berderajat n – 1

Jika suku banyak berderajat m dan pembagi berderajat n, maka hasil baginya berderajat m – n

Metode Pembagian Suku Banyak

contoh :

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1

Sehingga hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

2. Cara Horner/skema

cara ini dapat  digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1

Cara:

·         Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xⁿ, x^{n – 1}, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x³ – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x³, x², x, dan konstanta)

·         Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

·         Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁ dan P₂, maka S(x) = P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, maka S(x) = P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P₁, P₂, P₃, P₄, maka S(x) = P₁.P₂.P₃.S₄ + P₁.P₂.S₃ + P₁.S₂ + S₁

dan seterusnya

Untuk soal di atas,

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P₁: 2x + 1 = 0 → x = –½

P₂: x – 1 = 0 → x = 1

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P₁.S₂ + S₁ = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

3. Koefisien Tak Tentu

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

Untuk soal di atas, karena F(x) berderajat 3 dan P(x) berderajat 2, maka

H(x) berderajat 3 – 2 = 1

S(x) berderajat 2 – 1 = 1

Jadi, misalkan H(x) = ax + b dan S(x) = cx + d

Maka:

2x³ – 3x² + x + 5 = (2x² – x – 1).(ax + b) + (cx + d)

Ruas kanan:

= 2ax³ + 2bx² – ax² – bx – ax – b + cx + d

= 2ax³ + (2b – a)x² + (–b – a + c)x + (–b + d)

Samakan koefisien ruas kiri dan ruas kanan:

x³ → 2 = 2a → a = 2/2 = 1

x² → –3 = 2b – a → 2b = –3 + a = –3 + 1 = –2 → b = –2/2 = –1

x → 1 = –b – a + c → c = 1 + b + a = 1 – 1 + 1 → c = 1

Konstanta → 5 = –b + d → d = 5 + b = 5 – 1 → d = 4

Jadi:

H(x) = ax + b = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = cx + d = 1.x + 4 = x + 4

 Parabola

1. Definisi Parabola

Tiap titik pada parabola berjarak sama terhadap F dan directrix

Parabola adalah himpunan titik-titik yang jaraknya terhadap suatu titik F sebarang dan suatu garis lurus sebarang (sejajar sumbu-x atau sumbu-y) adalah sama.
Garis L disebut directrix dan titik F disebut fokus.

Atribut-atribut yang dimiliki oleh suatu parabola :

1. Titik fokus.
2. Garis directrix.
3. Parameter fokus(focal parameter).
4. Titik vertex.
5. Latus Rectum.

Ciri-ciri suatu parabola :

1. Tiap titik pada parabola berjarak sama terhadap titik fokus dan garis directrix.
2. Persamaannya berbentuk persamaan kuadrat.
3. Puncak berada di vertex.
4. Jarak titik fokus - directrix = 2a.

Parabola merupakan salah satu keluarga dari irisan kerucut. Anggota keluarga yang lain meliputi : lingkaran, ellips, dan hyperbola.

Contoh-contoh parabola :

Parabola berbentuk y² = 4ax dengan vertex di titik (0,0)

Parabola berbentuk x² = 4ay dengan vertex di titik (0,0)

Tahukah anda ?
Bila suatu parabola diputar terhadap suatu sumbu yang melewati vertex maka akan terbentuk suatu permukaan yang disebut paraboloid.